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• 2025.8.31
  • 3.1 连续时间周期信号的傅里叶级数

3.1连续时间周期信号的傅里叶级数

狄利克雷条件：

\[\begin{align} &在一个周期内 : \begin{cases} 函数连续或只有有限个第一类间断点\\ \\ 有有限个极大、极小值\\ \\ 函数绝对可积 \end{cases} \end{align} \]

三角形式的傅里叶级数

三角形式傅里叶级数的定义

给定周期为\(T\)的周期信号\(f(t)\)，当满足

狄利克雷条件

时，可以表示为\((t_{0},t_{0}+T)\)上的完备正交函数集合\(\{ 1,\cos n\Omega t,\sin n\Omega t \}\ \left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)\)中各个函数的线性组合 ：

\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos n\Omega t+b_{n}\sin n\Omega t) \]

其中：

• 直流分量：\(\frac{a_{0}}{2}\)
• \(n\)次余弦分量：\(a_{n}\cos n\Omega t\)，\(n\)次正弦分量：\(b_{n}\sin n\Omega t\)
• 基波角频率：\(\Omega=\frac{2\pi}{T}\)
• 基波频率：\(f=\frac{1}{T}\)

\[\begin{align} &\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\\ \\ &a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt\\ \\ &b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt \end{align} \]

三角级数的直流、基波、谐波分量

同频率项合并：(辅助角)

\[\begin{align} &f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n})\\ \\ &其中:\\ \\ &A_{0}=a_{0},A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} },\varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\\ \\ &a_{n}=A_{n}\cos \varphi_{n},b_{n}=-A_{n}\sin \varphi_{n} \end{align} \]

上式表明：任何满足狄利克雷条件的周期信号都可以分解为直流分量，基波分量和无穷多项谐波分量之和。其中各次谐波分量的角频率必然是

基波频率的整数倍

\[\begin{align} &直流分量:\frac{A_{0}}{2}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\\ \\ &基波分量(n=1):A_{1}\cos(\Omega t+\varphi_{1})\\ \\ &n次谐波分量(n\neq 1):A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n}) \end{align} \]

\[f(t)=直流+基波+谐波 \]

傅里叶系数的奇偶性

将系数视为谐波次数\(n\)或者\(n\)倍基波角频率\(n\Omega\)的函数，以\(n\)或者\(n\Omega\)为自变量进行分析：

\[\begin{align} &a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt\quad a_{-n}=a_{n}\quad 为n的偶函数\\ \\ &b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt\quad b_{-n}=-b_{n}\quad 为n的奇函数\\ \\ &A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} }\quad A_{-n}=A_{n}\quad 为n的偶函数\\ \\ &\varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\quad \varphi_{-n}=-\varphi_{n}\quad 为n的奇函数 \end{align} \]

信号的对称性与傅里叶系数的关系

信号为\(t\)的偶函数

• \(f(t)\cos n\Omega t\)为偶函数，\(f(t)\sin n\Omega t\)为奇函数
• \(a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt\)
• \(b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=0\)
• 此时，傅里叶级数不包含正弦项：\(f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n\Omega t\)

信号为\(t\)的奇函数

• \(f(t)\cos n\Omega t\)为奇函数，\(f(t)\sin n\Omega t\)为偶函数
• \(a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=0\)
• \(b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt\)
• 此时，傅里叶级数不包含直流和余弦项：\(f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin n\Omega t\)

信号为半波对称函数

\(f(t)=f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)\)信号沿时间轴平移半个周期以后与原波形完全重合

\[\Omega=\frac{2\pi}{T}\implies \Omega'=\frac{2\pi}{\frac{T}{2}}=\frac{4\pi}{T}=2\Omega \]

• 信号实际周期为\(\frac{T}{2}\)，\(2\Omega\)为实际的基波角频率，故只含有\(\Omega\)的偶次谐波
• 此时傅里叶级数只含有

  偶次谐波，不含奇次谐波

  ，又称为

  偶谐函数

• 此处的偶谐函数是相对于原函数而言的，因为实际上可以直接令\(T'=\frac{T}{2}\)

信号为半波镜像对称函数

\(f(t)=-f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)\)信号平移半个周期以后与原波形关于横轴对称

\[\begin{align} &a_{0}=a_{2}=\dots=a_{2n}=b_{0}=b_{2}=\dots=b_{2n}=0\\ \\ &a_{1},a_{3},\dots,a_{2n+1},b_{1},b_{3},\dots,b_{2n+1}\neq 0 \end{align} \]

• 此时傅里叶级数只含有奇次谐波，不含偶次谐波，又称为

  奇谐函数

任意信号分解为偶分量和奇分量之和

\[f(t)= \frac{f(t)+f(-t)}{2}+ \frac{f(t)-f(-t)}{2}=f_{ev}(t)+f_{od}(t) \]

其中：

• \(ev\to even,od\to odd\)
• 偶分量：\(f_{ev}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}\)
• 奇分量：\(f_{od}(t)= \frac{f(t)-f(-t)}{2}\)

指数形式的傅里叶级数

指数形式的傅里叶级数的定义

给定周期为\(T\)的周期信号\(f(t)\)，当它满足狄利克雷条件时，可以表示为\((t_{0},t_{0}+T)\)上完备正交函数集合\(\{ e^{jn\Omega t} \}\left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)\)中各个函数的线性组合：

\[\begin{align} &f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}\\ \\ &F_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt \end{align} \]

指数形式傅里叶级数中出现了

负频率

，负频率没有实际的物理意义，它的出现完全是采用复指数信号集合表示周期信号的结果，是数学分析的过程，当正负频率合并在一起的时候才能合成实际的频率分量

指数形式与三角形式傅里叶系数的关系

\[\begin{align} F_{n}&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt-j \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt\\ \\ &=\frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n})\\ \\ F_{-n}&=\frac{1}{2}(a_{-n}-jb_{-n})=\frac{1}{2}(a_{n}+jb_{n})\\ \\ \implies&\begin{cases} a_{n}=F_{n}+F_{-n}\\ \\ b_{n}=j(F_{n}-F_{-n}) \end{cases} \end{align} \]

对于复数\(F_{n}\)，可以转换为\(F_{n}=|F_{n}|\cdot e^{j\cdot\angle F_{n}}\)

\[\begin{align} &|F_{n}|=\frac{1}{2}\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} }=\frac{1}{2}A_{n}\ ,\ |F_{n}|=|F_{-n}|\quad 为n的偶函数\\ \\ &\angle F_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}=\varphi_{n}\ ,\ \varphi_{-n}=-\varphi_{n}\quad 为n的奇函数\\ \\ &\therefore F_{n}=\frac{1}{2}A_{n}e^{j\varphi_{n}} \end{align} \]

例

求图示周期信号的指数形式傅里叶级数

\[\begin{align} &T=3,\Omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3}\\ \\ F_{n}&=\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)e^{-jn\Omega t} dt=\frac{1}{3}\left[ 2\int_{0}^{2}e^{-jn\Omega t}dt-\int_{2}^{3}e^{-jn\Omega t}dt \right]\\ \\ &=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{j\cdot3n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{0}^{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{-j\cdot n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{2}^{3}\\ \\ &=\frac{2-3e^{-j\cdot 2n\Omega}+e^{-j\cdot 3n\Omega}}{j\cdot 3n\Omega}\\ \\ &将\Omega=\frac{2\pi}{3}代入得:\\ \\ 原式&=\frac{2-3e^{-j\cdot \frac{4\pi}{3}n}+e^{-j\cdot 2\pi n}}{j\cdot 2\pi n}\\ \\ &由于e^{-j\cdot 2\pi n}=\cos_{}2\pi n-j\cdot \sin 2\pi n=1:\\ \\ 原式&=\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)\\ \\ &\therefore f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)e^{jn \frac{2\pi}{3}t} \end{align} \]

• 在最后一步化简的时候，可以将复数展开为三角形式，判断是否可以进一步整理成常数