矩阵的计算和应用

一、矩阵是什么
- - 特殊的矩阵
二、基本计算
- 2.1 矩阵加法
  - 示例
  - 应用场景
- 2.2 矩阵减法
  - 示例
  - 应用场景
- 2.3 矩阵常量乘法
  - 示例
  - 应用场景
- 2.4 矩阵乘积
  - 示例
  - 单位矩阵
- 2.5 矩阵转置
  - 应用场景
- 2.6 Hadamard乘积
  - 应用场景
三、小试牛刀
- - 代码示例
四、小结

在前面关于机器学习中的数学表示一文中提到了矩阵，实际上它是计算机领域非常重要的一种数据结构，但除了CV类（计算机视觉）开发，我们在许多软件开发场景中却很少用到它，以至于开始庆幸：

"反正在以前线性代数也没怎么学好，作用也不大嘛..." "按说，这种观点是要受批评的。"

实际上关于矩阵的计算到处都是，只是你鲜少留意罢了。或者说，当你在使用某个三方库的时候，它里面已经帮你做好高度封装，让你不再顾及里面的细节..

一、矩阵是什么

矩阵可以看做是向量的维度延伸，也就是一个二维数组。

矩阵的数学表示为$x \in \mathbb{R}^{m*n}$，其中m和n分别代表行和列，其展开的形式如下：

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

如果

矩阵A = 矩阵B

，那么那么 A 和 B 的行列结构，以及每个对应位置的元素都是相等的。

特殊的矩阵

矩阵为 1*n，只有一行，称为行向量

\[A = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \end{bmatrix} \]

矩阵为 n*1，只有一列，称为列向量

\[A = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} \]

矩阵为 n*n，行列相同，称为方阵

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

二、基本计算

2.1 矩阵加法

对于两个 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$

\[\mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} \]

其和 $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$ 的元素 $c_{ij}$ 为： $$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

示例

给定矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$：

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]

\[\mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]

应用场景

在图像处理中，图像可以表示为一个像素矩阵。将两张图像进行融合时，可以通过矩阵加法实现。

融合图像=图像A+图像B

在医学影像中，CT 和 MRI 图像可以通过矩阵加法融合，帮助医生更全面地观察病灶。

2.2 矩阵减法

对于两个 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$

\[\mathbf{A} - \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix} \]

其差 $\mathbf{C} = \mathbf{A} - \mathbf{B}$ 的元素 $c_{ij}$ 为：$c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$

示例

给定矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$：

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]

\[\mathbf{A} - \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix} \]

应用场景

在安防监控中，连续帧图像之间的差异可以通过矩阵减法计算：

变化矩阵=当前帧A−前一帧B

如果差异矩阵中某些区域值显著变化，说明画面中可能出现了移动物体或异常行为。

2.3 矩阵常量乘法

对于一个常数 $k$ 和一个 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$

\[k\mathbf{A} = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} & \dots & k a_{1n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \dots & k a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k a_{m1} & k a_{m2} & \dots & k a_{mn} \end{bmatrix} \]

其积 $\mathbf{C} = k\mathbf{A}$ 的元素 $c_{ij}$ 为：$c_{ij} = k \cdot a_{ij}$

示例

给定矩阵 $\mathbf{A}$ 和常数 $k=3$：

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad k = 3 \]

\[3\mathbf{A} = 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 3 & 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} \]

应用场景

在图像处理中，调整图像亮度可以通过对像素矩阵乘以一个常数：

亮度增强图像=k⋅原图像矩阵,

这会使图像整体变亮，常用于图像增强和预处理。

除此之外，在深度学习中，模型的权重矩阵常常需要乘以一个缩放因子（如学习率、正则化系数）来控制训练过程。

2.4 矩阵乘积

设矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，矩阵$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$，则它们的乘积为：$C = AB 是一个 m \times p$ 的矩阵。

矩阵 A 和 B可相乘的条件是，

A的列数与 B的行数必须相同

。

乘积 C 的行数与A相同，列数与B相同。

示例

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix} \]

\[AB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{bmatrix} \]

对于乘积 C来说，每个元素 $c_{ij} 是矩阵 AA 的第 ii 行与矩阵 BB 的第 jj 列的点积：$

\[c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} \]

规律

乘法不满足交换律：一般情况下 AB≠BA（特殊情况除外）
乘法满足结合律与分配律：
- A(BC)=(AB)CA(BC) = (AB)C
- A(B+C)=AB+AC

单位矩阵

单位矩阵（Identity Matrix）

是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素全为 1，其余元素全为 0。

单位矩阵记做$ I_n$，对于任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，有：

\[AI_n=I_nA=A \]

比如，一个 3*3 的单位矩阵，计算过程如下：

\[I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\[AI_3 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

2.5 矩阵转置

矩阵的转置是将矩阵的行列互换，记作 $A^T$。如果矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，则其转置 $A^T∈\mathbb{R}^{n×m}$

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

矩阵转置有许多计算意义，例如在图像处理中，图像可以表示为一个像素矩阵。将图像矩阵进行转置，可以实现图像的

90°旋转（配合行列反转）

。

应用场景

假设你管理一家公司，销售三种产品：

T恤

、

裤子

和

鞋子

。你有三个销售渠道：

实体店A

、

实体店B

和

网上商店

。现在，你记录了周一和周二在

每个渠道

的

每种产品

的具体销量。同时，这些产品的价格在不同日期可能会有微调。

我们的目标是计算出

每个渠道在周一和周二分别获得了多少总收入

。

1. 销量矩阵（A）

这个矩阵记录了每个渠道在周一和周二的每种产品销量。

\[\text{A} = \begin{bmatrix} 20 & 15 & 8 \\ 5 & 10 & 12 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \]

列
代表了
销售渠道
（从左到右依次为：实体店A，实体店B，网上商店）。
行
代表了
产品种类
。

2. 价格矩阵（B）

这个矩阵记录了三种产品在周一和周二的价格。

\[\text{B} = \begin{bmatrix} 100 & 98 \\ 200 & 195 \\ 300 & 295 \end{bmatrix} \]

行
代表了
产品种类
。
列
代表了
日期
（周一，周二）。

3. 矩阵乘法

要计算每个渠道在两天的总收入，我们将

销量矩阵（A）

转置，然后与

价格矩阵（B）

相乘，即 $C=A^TB$。

\[\text{C} = \begin{bmatrix} 20 & 5 & 3 \\ 15 & 10 & 4 \\ 8 & 12 & 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 100 & 98 \\ 200 & 195 \\ 300 & 295 \end{bmatrix} \]

4. 计算过程与结果

\[\text{C} = \begin{bmatrix} (20\times100+5\times200+3\times300) & (20\times98+5\times195+3\times295) \\ (15\times100+10\times200+4\times300) & (15\times98+10\times195+4\times295) \\ (8\times100+12\times200+5\times300) & (8\times98+12\times195+5\times295) \end{bmatrix} \]

5. 结果分析

\[\text{C} = \begin{bmatrix} 3900 & 3865 \\ 4700 & 4540 \\ 4700 & 4599 \end{bmatrix} \]

新的结果矩阵清晰地显示了每个渠道在每一天的总收入：

第一行

[3900, 3865]
：
实体店A
周一总收入为 3900，周二为 3865。
第二行

[4700, 4540]
：
实体店B
周一总收入为 4700，周二为 4540。
第三行

[4700, 4599]
：
网上商店
周一总收入为 4700，周二为 4599。

2.6 Hadamard乘积

矩阵的

Hadamard 乘积

，也称为元素级乘积（element-wise product），是一种特殊的矩阵运算。与矩阵乘法不同，Hadamard 乘积不涉及行与列的点积，而是将两个

相同结构

的矩阵中对应位置的元素直接相乘，然后将结果组成一个新的矩阵。

如果两个矩阵 A 和 B 的维度都是 m×n，它们的 Hadamard 积 $C=A⊙B$ 的每个元素 $c_{ij}$ 满足：

\[c_{ij}=a_{ij}⋅b_{ij} \]

Hadamard 乘积常用于需要对数据进行逐元素加权或筛选的场景。

应用场景

在图像处理中，图像数据通常以矩阵形式存储，矩阵中的每个元素代表一个像素的亮度或颜色值。这时可以使用 Hadamard 乘积来实现图像遮罩效果，只保留图像中感兴趣的区域。

假设你有一张黑白照片，并想把照片中某一部分变暗或去除。你可以创建一个

遮罩矩阵

。

图像矩阵 (A)：
一个表示图像像素值的矩阵，例如一个 3x3 矩阵。

\[\text{A} = \begin{bmatrix} 200 & 210 & 205 \\ 180 & 190 & 185 \\ 150 & 160 & 155 \end{bmatrix} \]
遮罩矩阵 (B)：
一个与图像矩阵同维度的矩阵，其中你想保留的区域元素为1，想遮盖或变暗的区域元素为0或接近0的值。

\[B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
Hadamard 积 (C=A⊙B)：
将两个矩阵逐元素相乘，结果是新的图像矩阵。

\[\text{C} = \begin{bmatrix} 200\times1 & 210\times1 & 205\times1 \\ 180\times0 & 190\times0 & 185\times0 \\ 150\times0 & 160\times0 & 155\times0 \end{bmatrix} \]
\[\text{C} = \begin{bmatrix} 200 & 210 & 205 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

最终结果是只保留了图像上半部分的像素，下半部分像素值变为0（全黑），这样便可以实现了图像的局部处理功能。

三、小试牛刀

下面使用 numpy 来实现本文提到的这些矩阵运算，包括：加法、减法、常量乘法、矩阵乘积、单位矩阵初始化，以及 Hadamard（元素乘）乘积。

代码示例

import numpy as np # 初始化两个矩阵 A 和 B（3x3） A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) B = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]) # 1️⃣ 矩阵加法 add_result = A + B # 2️⃣ 矩阵减法 sub_result = A - B # 3️⃣ 常量乘法（例如 k = 2） k = 2 scalar_mul_result = k * A # 4️⃣ 矩阵乘积（矩阵乘法） dot_result = np.dot(A, B) # 5️⃣ 单位矩阵初始化（3x3） identity_matrix = np.eye(3) # 6️⃣ Hadamard 乘积（元素乘法） hadamard_result = A * B # 输出结果 print("矩阵 A:\n", A) print("矩阵 B:\n", B) print("矩阵加法 A + B:\n", add_result) print("矩阵减法 A - B:\n", sub_result) print("常量乘法 k * A:\n", scalar_mul_result) print("矩阵乘积 A * B:\n", dot_result) print("单位矩阵 I:\n", identity_matrix) print("Hadamard 乘积 A HM B:\n", hadamard_result)

执行上述程序，输出结果如下：

矩阵 A: [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] 矩阵 B: [[9 8 7] [6 5 4] [3 2 1]] 矩阵加法 A + B: [[10 10 10] [10 10 10] [10 10 10]] 矩阵减法 A - B: [[-8 -6 -4] [-2 0 2] [ 4 6 8]] 常量乘法 k * A: [[ 2 4 6] [ 8 10 12] [14 16 18]] 矩阵乘积 A * B: [[ 30 24 18] [ 84 69 54] [138 114 90]] 单位矩阵 I: [[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]] Hadamard 乘积 A HM B: [[ 9 16 21] [24 25 24] [21 16 9]]